设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1，那么

ab-(a+b)=1,
a+b=ab-1,
a=(b+1)/(b-1),
令y=a+b=b+(b+1)/(b-1)=(b^2+1)/(b-1),
化得:b^2-by+y+1=0,要使方程有解,必有:
y^2-4y-4>=0,
y1=2+2根号2,
y2=2-2根号2(不合题意,舍去)
所以,a+b的最大值为2+2根号2

a+b=ab-1
所以没有最大值。
只有最小值为0.

(√a-√b)^2≥0
a+b-2√(ab)≥0
a+b=ab-1
ab-1-2√(ab)≥0
ab-2√(ab)+1≥2
(√(ab)-1)^2≥2，且a＞1,b＞1
√(ab)≥√2+1,ab≥(√2+1)^2=3+2√2
a+b=ab-1≥2+2√2
a+b的最小值为2+2√2